二、數(shù)學(xué)模型

2.1 基本假設(shè)

在本文的開(kāi)斷電流條件下，長(zhǎng)弧磨損遠(yuǎn)大于起弧過(guò)程中的橋磨損和短弧磨損。為了得到熔池內(nèi)部金屬液滴噴濺速度及方向、溫度分布和熔蝕形貌的演化過(guò)程，本文做出以下基本假設(shè)：

第一，忽略非平衡態(tài)的起弧過(guò)程及電子、離子自由程導(dǎo)致的微觀能量傳遞，僅考慮高溫電弧形成后，電弧在觸頭表面宏觀傳熱產(chǎn)生的熔化相變，形成的熔池及燒蝕。

第二，由于熔池尺寸小、流速較低、熔融金屬黏度低，將液態(tài)金屬視為牛頓流體，流體流動(dòng)假定為不可壓縮層流。

第三，由于金屬蒸汽的溫度極高、密度較低，分子間作用力遠(yuǎn)小于分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，在不影響計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度的前提下提高模型的收斂性，將金屬蒸氣視為理想氣體，并對(duì)入射電弧透明。

第四，本文研究的熔蝕過(guò)程電弧已穩(wěn)定燃燒，在保障熔池內(nèi)部流場(chǎng)準(zhǔn)確度的前提下，簡(jiǎn)化模型，提高數(shù)值準(zhǔn)確度和計(jì)算效率，因此忽略了電弧形成初期等離子體多次反射的影響。

2.2 控制方程

電弧開(kāi)斷過(guò)程中，產(chǎn)生的高溫等離子體向觸頭傳遞能量，引起觸頭表面溫度升高。在空氣環(huán)境下，觸頭表面發(fā)生氧化、熔化、汽化和熔體噴濺等多種物理或化學(xué)變化過(guò)程。電弧作用于觸頭表面的數(shù)值模擬基于連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程、能量守恒方程和水平集方程的一般形式。

連續(xù)性方程為：

?·u = 0

動(dòng)量守恒方程（Navier-Stokes方程）為：

ρ?u/?t + ρ(u·?)u = ?·(-pI + μ(?u + (?u)T)) + ρg + Ku

能量守恒方程為：

ρCp(?T/?t + (u·?T)) = ?·k?T + δ(qin - qout)

水平集方程為：

?φ/?t + u·?φ + γ?·(φ(1-φ)?φ/?φ - ε?φ) = 0

其中，u為流體速度，μ為動(dòng)力學(xué)黏度，ρ為密度，Cp為比熱容，k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，T為溫度，p為壓強(qiáng)，I為單位矩陣，φ為水平集函數(shù)，g為重力加速度的矢量，K為各向同性滲透率，ε表示邊界層厚度，qin和qout分別是熱源和熱損失。

2.3 表面氧化動(dòng)力學(xué)

2.3.1 固相氧化

目前市面上的斷路器大多采用銅基材料或銅合金為基礎(chǔ)，既兼顧了導(dǎo)電性又保證了抗熔焊性和穩(wěn)定性，其中觸頭材料中銅占比最大。銅暴露在空氣中并在電弧的作用下，表面會(huì)發(fā)生氧化現(xiàn)象，形成的氧化物主要有氧化銅和氧化亞銅。根據(jù)已有研究，銅在低于800°C時(shí)的氧化物為氧化亞銅，高于800°C時(shí)的氧化物為氧化銅。隨著溫度的升高，氧質(zhì)量迅速流入受熱區(qū)，由于徑向溫度分布不均勻，導(dǎo)致氧化物厚度增加也不均勻。

在電弧的作用下，銅觸頭的氧化反應(yīng)可以寫(xiě)成：

4Cu + O2 = 2Cu2O

銅在空氣中的高溫氧化動(dòng)力學(xué)表達(dá)式為：

ΔM1 = √(kp·t)

其中，ΔM1為單位面積上氧化層的質(zhì)量增加量（kg/m2），氧化速率kp可以用阿倫尼烏斯方程描述：

kp = A0·e^(Q/RT)

式中，Q = 1.5×10? J/mol為氧反應(yīng)的活化能，R = 8.314 J/(mol·K)為氣體常數(shù)，氧化速率kp為溫度的函數(shù)。

2.3.2 液相氧化

當(dāng)觸頭溫度升高達(dá)到觸頭的熔點(diǎn)后，氧溶解在熔融金屬中。高溫時(shí)銅的氧化產(chǎn)物主要是氧化銅，因此空氣中的氧和液態(tài)銅之間的化學(xué)反應(yīng)可表示為：

2Cu + O2 = 2CuO(l)

其中(l)表示液態(tài)。由于觸頭的熔蝕時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于溶解達(dá)到平衡狀態(tài)的時(shí)間，所以氧氣的溶解一直處于平衡狀態(tài)。在接近平衡狀態(tài)下，熔融液中的氧濃度等于氧的溶解度。在銅和氧的液體中，氧溶解度可以寫(xiě)成溫度的函數(shù)：

X0 = e^(-14550/T + 2.94)

液態(tài)銅中氧的擴(kuò)散可視為半無(wú)限介質(zhì)中的單向擴(kuò)散，則氧化過(guò)程中熔蝕區(qū)域單位面積的質(zhì)量增益ΔM2為：

ΔM2 = 2(ξX0ρ1 - c0)/√π · √(Dt)

式中，ξ = 6.9×10?3為平衡氧濃度的修正因子，ρ1 = 7.785 g/cm3為液態(tài)銅密度，c0為初始氧濃度，D = 1×10?? m2/s表示氧在液態(tài)銅溶液中的擴(kuò)散系數(shù)。

2.4 相變處理

在電弧作用觸頭期間，觸頭經(jīng)歷了熔化和汽化的相變。為了處理相變產(chǎn)生的潛熱，本文采用等效比熱容法進(jìn)行處理：

Cp = CpSS + Lm·Dm + Lv·Dv

其中，Dm = e^(-(T-Tm)2/ΔTm2)/(ΔTm√π)

Dv = e^(-(T-Tb)2/ΔTb2)/(ΔTb√π)

式中，CpSS為材料比熱容，Lm為熔融潛熱，Lv為汽化潛熱，Tm和Tb分別為材料熔點(diǎn)和氣化點(diǎn)，ΔTm和ΔTb分別為融化溫度過(guò)渡區(qū)和蒸發(fā)溫度過(guò)渡區(qū)。

固相與液相之間的糊狀區(qū)域通常采用Kozeny-Carman方程處理。液體體積分?jǐn)?shù)fl定義為：

當(dāng)T < Tm - ΔT時(shí)，fl = 0；

當(dāng)Tm - ΔT < T < Tm + ΔT時(shí)，fl = (T - Tm - ΔT)/(2ΔT)；

當(dāng)T > Tm + ΔT時(shí)，fl = 1。

動(dòng)量方程中的達(dá)西阻尼力的各向同性滲透率K取決于fl，表達(dá)式為：

K = -(1-fl)2/(fl3 + b)

其中b為避免被零除的小數(shù)。

隨著電弧能量的增大，觸頭表面溫度逐漸提高，先后超過(guò)熔點(diǎn)Tm和沸點(diǎn)Tb。銅的熔點(diǎn)和沸點(diǎn)分別為1356 K和2835 K。當(dāng)T < Tm時(shí)，固態(tài)銅進(jìn)行氧化，受熱區(qū)有氧質(zhì)量流入；當(dāng)Tm < T < Tb時(shí)，氧質(zhì)量流以相對(duì)于固相更高的速度進(jìn)入液態(tài)銅；當(dāng)T > Tb時(shí)，蒸發(fā)導(dǎo)致質(zhì)量減少。因此需要對(duì)質(zhì)量的連續(xù)性方程增加三個(gè)源項(xiàng)，修改為：

?·u = s1 + s2 + s3

三個(gè)源項(xiàng)依次對(duì)應(yīng)以上三個(gè)溫度范圍的傳質(zhì)：

s1 = J1·(1/ρi)·δn = d(ΔM1)/dt · (1/ρi)·δn

s2 = J2·(1/ρi)·δn = d(ΔM2)/dt · (1/ρi)·δn

s3 = J3·(1/ρv - 1/ρi)·δn

其中J1、J2、J3分別為固相氧化質(zhì)量通量、液相氧化質(zhì)量通量和蒸發(fā)除去率，ρi和ρv分別為金屬密度和金屬蒸氣密度，n為從觸頭指向空氣界面的法向量，δ定義為水平集法中的界面函數(shù)。將金屬蒸氣視為理想氣體，滿足ρv = p·Mss·NA/(R·T)，其中Mss為銅的原子質(zhì)量，NA為阿伏伽德羅常數(shù)。

δ的表達(dá)式為：

δ = 6?φ · (1-φ)φ

J3可以由修正的Langmuir方程估算：

J3 = (1-βR)·ps·√(Mss/(2πkB·T))

式中βR為逆向擴(kuò)散系數(shù)，kB為玻耳茲曼常數(shù)，ps為汽化面飽和壓強(qiáng)，可由克勞修斯-克拉伯龍關(guān)系求得，其中p0 = 101325 Pa：

ps = p0·exp((Lv·Mss/kB·T)·(T/Tb - 1))

2.5 修正的水平集方程

在電弧侵蝕觸頭的多物理場(chǎng)耦合過(guò)程中，滅弧介質(zhì)與熔融金屬表面的相互作用顯著影響著熔池演化行為。為了更準(zhǔn)確地追蹤移動(dòng)表面，研究者多采用水平集方法構(gòu)建電弧等離子體與熔池噴濺的相界面追蹤模型。相較于傳統(tǒng)自由界面追蹤方法，該方法能夠捕捉電弧熔蝕中氧質(zhì)量流流入對(duì)界面運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)，并考慮氧溶解度引發(fā)的熔體表面張力變化。

為表述上述氧化和蒸發(fā)過(guò)程中傳質(zhì)引起的表面移動(dòng)，需增加三個(gè)源項(xiàng)。修改后的水平集方程和三個(gè)源項(xiàng)如下：

?φ/?t + u·?φ + γ?·(φ(1-φ)?φ/?φ

- ε?φ) = -ψ1 - ψ2 + ψ3

其中：

ψ1 = J1·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρa(bǔ))

ψ2 = J2·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρa(bǔ))

ψ3 = J3·δ·(φ/ρi + (1-φ)/ρv)

式中ρa(bǔ)為空氣密度，ψ1、ψ2、ψ3分別表示固相氧化引起表面位移源項(xiàng)、液相氧化引起的表面位移源項(xiàng)和蒸發(fā)引起的表面位移源項(xiàng)。

在計(jì)算區(qū)域中，定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來(lái)追蹤氣液交界面的運(yùn)動(dòng)：氣體取值為1，液體（包括固體、固液混合糊狀區(qū)、液相區(qū)）取值為0，氣液交界面取值為0.5，φ從0到1平滑過(guò)渡。通過(guò)求解改進(jìn)水平集φ的傳遞方程來(lái)追蹤氣-液間的運(yùn)動(dòng)平面，并通過(guò)水平集方程與動(dòng)量、能量守恒方程和連續(xù)性方程之間的相互耦合來(lái)計(jì)算液滴質(zhì)量遷移所帶走的觸頭表面的動(dòng)能和熱能。

2.6 邊界條件和初始值

2.6.1 熱邊界條件

對(duì)于自由表面，需要考慮對(duì)流、輻射和蒸發(fā)引起的熱損失。熱邊界條件為：

k?T = qin - qout = Garc - [h(T-T0) + ωkB(T?-T0?) + Lv·Vv·ρ1]

其中蒸發(fā)速率Vv為汽化陣面的后退速度，可以由描述液體表面蒸發(fā)物質(zhì)流的赫茲-努德森方程得到；h為傳熱系數(shù)；ω為表面輻射；Garc為弧根處熱源。

作用在觸頭表面的熱通量可以從耦合模型中提取。在觸頭邊緣處，電弧能量經(jīng)過(guò)傳導(dǎo)、對(duì)流、輻射等方式會(huì)耗散一部分能量，因此熱流幅值隨電弧運(yùn)動(dòng)和熱耗散而減小。本文取停滯時(shí)間內(nèi)的累積熱通量作為熔池模型的能量注入，服從高斯分布的熔池等效熱源為：

Garc = qmax(t)·exp(-2x2/ry2)

式中qmax(t)為停滯期間的熱通量，x為熔池位置，ry為弧根半徑，本文取0.06 mm。

將初始溫度T0 = 300 K、k?T = 0應(yīng)用于其他邊界。該邊界條件方程乘以δ函數(shù)視為熱源項(xiàng)加到能量守恒方程的原始形式中，得到修正后的能量方程。

2.6.2 流體動(dòng)力學(xué)邊界條件

在熔蝕的表面，驅(qū)動(dòng)力的法向分量由表面張力和反沖壓力組成，在切向上考慮金屬蒸汽流動(dòng)引起的馬蘭戈尼效應(yīng)和剪切應(yīng)力。流體動(dòng)力邊界條件F可以表示為：

F = σκn - Precoil·n + (?σ/?T)·(?T/?x)·τ + τw·τ

式中σ為表面張力系數(shù)，κ為曲率，蒸汽反沖壓力Precoil = 0.59Ps，n和τ分別為法向和切向的單位矢量。

表面張力受到溫度和氧氣的共同影響。氧氣是空氣中占比第二大的氣體，因此在本文模型中，需要同時(shí)考慮溫度和氧濃度對(duì)液態(tài)銅表面張力的影響。上式等號(hào)右側(cè)第三項(xiàng)表示由熔蝕表面張力梯度驅(qū)動(dòng)的馬蘭戈尼效應(yīng)。

在銅氧體系中，表面張力系數(shù)是溫度T和氧活度ai的函數(shù)，其形式為：

σ = σ0 - A(T-Tm) - RTΓs·ln[1 + k0(ai×100)·e^(-ΔH°/RT)]

式中ai可由ξX0表示，Γs = 1.1×10?? mol/m2為飽和狀態(tài)下的表面過(guò)剩濃度。

當(dāng)T ≥ Tb時(shí)，由熔池表面形成的火山口內(nèi)側(cè)的金屬蒸氣流引起的剪切應(yīng)力τw可寫(xiě)為：

τw = 8ρv·uv2/Re

式中uv為金屬蒸氣沿著熔坑壁面的分量速度，Re是與熔坑形貌相關(guān)的雷諾數(shù)。

這三種力都應(yīng)乘以δ函數(shù)，作為一般形式的力應(yīng)用到動(dòng)量守恒方程的一般形式中。修正后的動(dòng)量守恒方程可以表示為：

ρ?u/?t + ρ(u·?)u = ?·(-pI + μ(?u + (?u)T)) + ρg + Ku + δF